Главная страница » Работы на конкурс » Физико-математические науки » Доклад “Моделирование и исследование геометрических фракталов”

Доклад “Моделирование и исследование геометрических фракталов”

Автор (ы)

Лось Мария Вячеславовна

Аффилиация

ГУО "Гимназия г. Иваново", Республика Беларусь

Научный руководитель

Лось Татьяна Николаевна

Аннотация

Фрактальная геометрия относительно новая научная дисциплина. С помощью фрактальной теории можно точно описать многие «неправильные» формы, встречающиеся в окружающем мире, например, береговую линию, форму облака и горного массива, ритм сердечных сокращений, ветвление сосудов в организме и речных дельт. Фрактальная геометрия помогает лучше понять многие явления с математической точки зрения.

Гипотеза исследования – фракталы являются необычными геометрическими фигурами с особыми свойствами. С помощью фрактальной теории можно анализировать, решать различные, внешне не похожие друг на друга, задачи. Если изучить закономерность построения фрактала, то его можно смоделировать на языке программирования PascalABC.

Основная цель работы – это исследование распространённых геометрических фракталов, выявление общих закономерностей при построении и расчетах, составление программы моделирования фракталов.

Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:

  • изучить литературу и описать особенности и свойства отдельных фракталов;
  • на конкретных примерах продемонстрировать особенности пошагового построения геометрических фракталов;
  • построить собственные фракталы;
  • самостоятельно вывести формулы (отличающиеся от стандартных) для расчета приращения периметра и площади фигур для каждого шага итерации.

Предмет исследования: свойства геометрических фракталов.

Объект исследования: геометрические фракталы.

Отличие данной работы от других, схожих по теме, в том, что для конкретных геометрических фракталов вывод формул идет от простого к сложному – многократное деление/умножение приводит к степеням и степенным выражениям, что обеспечивает наглядность и простоту восприятия; наглядно показано сопоставление изменений периметра и площади для n-шагов итерации.

Практическая значимость работы: умение применять разнообразные методы, альтернативные способы решения задач; совершенствование математической культуры, навыков математического мышления.

Выдвинутая гипотеза в ходе исследования нашла подтверждение. Изучив литературу, пришли к выводу, что фракталы являются необычными геометрическими фигурами с особыми свойствами:

  1. Они имеет тонкую структуру, то есть содержат произвольно малые масштабы.
  2. Они слишком нерегулярны, чтобы быть описанными на традиционном геометрическом языке.
  3. Они имеют некоторую форму самоподобия; дробную «фрактальную» размерность; простое и рекурсивное определение.

В процессе построения конкретных фракталов и изучения их особенностей были выявлены следующие закономерности и свойства:

  1. Для всех исследованных фигур в формулах расчета периметра и площади существует закономерность: номер шага итерации n везде присутствует в формулах в виде степени.
  2. Изменения площади более существенны и заметны только на первых шагах итерации, после первых шагов площадь почти перестает изменяться.
  3. Увеличение периметра идет быстрее с каждым шагом.
  4. Изменения площади практически не зависят от изменений периметра и происходят очень непропорционально относительно друг друга. С каждым шагом итерации идет резкое приращение периметра, а приращение площади стремится к нулю. И чем больше шаг итерации, тем огромнее разница в приращениях.
  5. Длина «истинного фрактала» всегда стремится к бесконечности.

Список используемых источников:

  1. Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. Н.Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та 1999 г.
  2. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. — М.: «Институт компьютерных исследований», 2002.
  3. Треугольник Серпинского // Википедия [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://ru.wikipedia.org/wiki/ Треугольник Серпинского. – Дата доступа: 25.09.2020
  4. Кривая Коха // Википедия [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://ru.wikipedia.org/wiki/ Кривая Коха. – Дата доступа: 25.09.2020

Содержание работы

Конкурс, в котором автор работы принял участие:

Древо жизни: III Открытый международный конкурс междисциплинарных исследовательских проектов школьников

Отрасль наук

Форма представления работы

Дата публикации работы: 07.05.2021