Исследовательская работа “О формулах типа Кардано для некоторого класса алгебраических уравнений 5-й степени”

Решения квадратных уравнений были найдены до нашей эры, кубических – в XVI веке, но дальнейшие исследования натолкнулись на непреодолимые трудности. Так, теорема Абеля-Руффини гласит, что общее алгебраическое уравнение 5-й степени и выше неразрешимо в радикалах. Но ничто не мешает выделять частные классы уравнений (уравнения с коэффициентами определённого вида), которые разрешаются в радикалах, и находить решения конкретно для них, чем впервые занялся Л. Эйлер, написав мемуар “О решении уравнений любого порядка”. Тогда возникает вполне логичный вопрос: в чем актуальность исследовательской работы? Пополнение базы разрешимых уравнений 5-й степени необходимо, так как формулы нахождения корней разрешимых в радикалах уравнений могут использоваться при расчете констант равновесия в разделе физической химии.

Целью научно-исследовательской работы является вывод формулы корней определенного класса алгебраических уравнений 5-й степени по принципу вывода формулы Кардано. Для достижения данной цели были поставлены следующие задачи:

1. Ознакомиться с порядком вывода формулы Кардано для кубических уравнений и с исследованием этой формулы в зависимости от знака дискриминанта.
2. Определить класс уравнений 5-й степени, разрешимых в радикалах.
3. Вывести формулу типа Кардано для выделенного класса уравнений 5-й степени и исследовать её в зависимости от знака дискриминанта.
4. Рассмотреть иллюстрирующие примеры.

Объектом исследования выступает некоторый класс алгебраических уравнений 5-й степени. Предметом исследования являются вид корней алгебраического уравнения определенного класса в зависимости от знака дискриминанта.

Гипотеза заключается в том, что вывод формулы типа Кардано для выделенного класса алгебраических уравнений 5-й степени возможен и что полученные корни этого уравнения имеют схожую с корнями уравнения 3-й степени структуру.

В данной работе выделяется новый класс разрешимых в радикалах уравнений 5-й степени, который не рассматривался нигде ранее, и выводятся формулы корней конкретно для этого класса по методу аналогии с выводом формулы Кардано. Была отмечена схожесть структур и принадлежности к конкретному множеству чисел корней уравнений 3 и 5 степени. Гипотеза оказалась верной.